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Avertissement Les récréations ci-après ne sont pas des “casse - têtes” mais, à travers des énoncés relativement simples, des problèmes qui demandent des constructions mathématiques et des techniques de calcul assez élaborées du niveau d’une bonne terminale S, voire de classe prépa. Le principal intérêt de ces exercices est de modéliser une situation, un concept ou une problématique, souvent inspirée de la vie courante, pour pouvoir y appliquer les outils mathématiques et parvenir à une solution. C’est la mise en pratique de l’adage: “un problème bien posé est à moitié résolu” et c’est pourquoi j’ai rédigé des énoncés relativement succincts pour laisser le lecteur concevoir le modèle, en un mot, construire son raisonnement. L’autre moitié est plus déductive mais peut faire appel à quelques astuces de calcul. Si certains problèmes sont connus, tous font l’objet d’une solution que j’espère élégante et surtout, correcte. Si des lecteurs trouvent des méthodes plus originales ou des erreurs dans mes démonstrations, qu’ils n’hésitent pas à m’en faire part. La Clepsydre La clepsydre est une “horloge à eau” inventée par les Egyptiens mesurant le temps par la baisse de niveau provoquée par un écoulement d’eau à la base d’un récipient gradué. Ce système avait pour inconvénient de nécessiter un étalonnage délicat car la pression étant plus forte lorsque le niveau est haut, ce dernier ne baisse pas régulièrement. D’où la problématique suivante: Quelle doit être la forme du récipient pour que le niveau baisse linéairement avec le temps ? On comprend immédiatement l’intérêt d’une telle horloge: elle ne consomme que de l’eau - qui, d’ailleurs peut être recyclée - et utilise la gravité, gratuite (jusqu’à présent). Plus de pile à acheter, plus d’émission de carbone ou de rejet de mercure. Si des investisseurs sont intéressés ... Le ressort pesant Dans tous les problèmes, je n’ai rencontré que des ressorts sans masse. C’est idiot: pas de masse -> pas de raideur -> le ressort ne sert à rien. D’un autre côté, si le ressort a une masse, il doit donc s’étirer par son propre poids. Je me propose donc de: Repérer par la position de ses spires, l’élongation d’un ressort pesant, pendu par une de ses extrémités. La moyenne d’ordre N Depuis que nous sommes élèves, les professeurs font des moyennes. Mais savez-vous qu’il en existe une infinité dont celle utilisée à l’école n’est qu’un cas particulier (n=1) ? Pourtant d’autres moyennes sont tout aussi valables et beaucoup plus favorables à l’élève (ce que les prof vous ont toujours caché). Nous allons donc découvrir les principales moyennes (harmoniques, quadratiques, géométriques, etc ...) Notes: je vous laisse le soin d’aller négocier avec votre prof celle que vous souhaitez qu’il utilise. Cela peut intéresser également les statisticiens (et politiciens) de tous bords: il leur suffit de choisir la bonne moyenne pour justifier la cause qu’ils défendent ! Les mouches C’est un classique de maths sup traitant du carré et que j’ai étendu au cas du polygone: n mouches se trouvent aux n sommets d’un polygone et, au même moment, volent à la même vitesse et dans le même sens vers leur voisine. Elles vont se rencontrer au centre après avoir décrit une spirale. Quelle distance chaque mouche aura t-elle parcourue lorsqu’elles se seront rejointes ? La bande de magnétophone Avec l’apparition du CD, ce problème n’est plus d’actualité mais pour les anciens comme moi, il permet d’apporter la réponse à la question que beaucoup se sont posés en regardant se rembobiner une bande de magnétophone: Combien faut-il de tours pour enrouler autour d’un moyeu de rayon r, une bande de longueur L et d’épaisseur e ? Détection d’une maladie par mélange d’échantillons Ce problème m’a été inspiré par mon co-douche (qui est devenu mon beau-frère) à Centrale: Peu après un dépistage de MST, il fut rappelé pour une contre-analyse. Panique à bord, notamment pour moi, son voisin !!! En fait, l’infirmier lui a expliqué que, pour réduire le nombre d’analyses, les échantillons sanguins sont mélangés par lots et, lorsque qu’un lot est réactif, on rappelle les individus concernés. Ouf, fausse alerte, et un cas intéressant à étudier: Quelle est la taille optimale des lots à constituer pour minimiser le nombre d’analyses afin de dépister dans toute une population une maladie de fréquence donnée ? Tirages répétitifs Cela me fut venu en regardant mon père mettre le couvert (cela lui arrivait suffisamment rarement pour que toute la famille se mît à l’observer): Il sortait 5 couteaux au hasard, les aiguisait et les plaçait à table. Je lui fis alors remarquer qu’il ferait mieux de les aiguiser tous une bonne fois mais, pour le convaincre, j’ai entrepris de calculer: La probabilité d’avoir aiguisé n couteaux d’une ménagère de N après le t-ième tirage de q couteaux. ainsi que, donner, pour le Trivial Pursuit: Le nombre de parties qu’il faut jouer pour avoir x% de chances de retrouver une question déjà posée. Malheureusement, je n’ai pu résoudre la formule de récurrence que dans les cas q=1 et n=qt et j’aimerais savoir s’il existe une solution au cas général. Néanmoins, le cas q=1 m’a permis de déduire une égalité intéressante et j’ignore si ce résultat est connu ou non. J’attends donc avec impatience des nouvelles de lecteurs férus de “tirages répétitifs” ! La fonction logarithme Cette fonction m’a toujours été présentée comme étant la primitive de la fonction 1/x avec, comme propriété remarquable, qu’elle transforme les produits en sommes (ce qui a permis aux ingénieurs de simplifier grandement les calculs lorsque les calculatrices n’existaient pas). Je me suis logiquement posé la question inverse: Quelles sont les fonctions sur R dérivables en 1 telles que f(xy) = f(x) + f(y). Vitesse de consommation minimale Ou comment les mathématiques appliquées à la vie courante peuvent sauver une situation mal engagée: Trouver la vitesse à laquelle une voiture a une consommation kilométrique minimale ? C’est à dire, celle qui permet de faire la plus grande distance avec un volume d’essence donné. Et, pour ne pas rester dans le théorique, je donne le moyen d’appliquer la formule à son propre véhicule. Sympa non ? Deux fractales Une fractale est une courbe dont le motif se répète à l’infini, quelque soit le “zoom” avec lequel on la regarde. Elles se rencontrent très souvent dans la nature. Par exemple, la côte française, vue de l’espace, se voit comme un découpage grossier. Vue d’avion, elle fait le tour des plages et des criques, de plus près, de chaque rocher, puis de chaque caillou, grain de sable etc ... Ces courbes ont donc une longueur infinie mais délimitent une surface finie. J’ai lu qu’elles servent de support à la géométrie de dimension fractionnaire. Mais, là, c’est une autre histoire ! Je demande ici, très modestement de: Trouver le périmètre et la surface de deux fractales: l’une basée sur des triangles équilatéraux et l’autre sur des carrés La somme diabolique J’ai rencontré ce problème lors de l’éliminatoire des championnats de France des jeux mathématiques de 1990. Il était basé sur des nombres de 6 chiffres et j’ai trouvé intéressant de l’appliquer au cas des nombres de 9 chiffres: Calculer la somme des carrés des 9! nombres formés par la permutation des 9 chiffres de 1 à 9 Je déconseille l’usage de la calculette car il y a 362 880 nombres de 18 chiffres à ajouter ! Au passage, c’est un bon exemple de la puissance du raisonnement mathématique par rapport à la bestialité de la calculatrice. Le bâton En voyant glisser un bâton adossé à un mur, j’ai voulu trouver: L’équation de l’enveloppe de la surface que balaye un bâton adossé contre un mur et glissant dans un plan perpendiculaire au sol et au mur. En me replongeant récemment dans un formulaire de mathématiques, qui m’avait d’ailleurs déjà servi pour réviser les concours, je me suis rendu compte que cette courbe était bien connue: c’est une astroïde. Les dominos Mon beau-frère (le même que celui évoqué plus haut), est également friand de récréations mathématiques et m’a soumis le problème suivant que chacun a pu expérimenter lorsqu’il était enfant: Peut-on empiler des dominos décalés les uns par rapport aux autres à la limite de l’équilibre, de façon à faire une jambe de “pont” d’une portée quelconque ? Avouez que vous avez déjà essayé et avez dû probablement abandonner par manque de dominos. Et bien, vous aller en avoir la réponse ... L’hyper-Espace Non, ce n’est pas un délire de matheux mais la découverte de propriétés remarquables de l’hyper-espace, c’est à dire d’univers dont la dimension est supérieure à la nôtre (3, comme chacun sait). Il s’agit de: Calculer le volume et la surface de l’hypersphère et de l’hypercube, prolongement dans la dimension n, de la sphère et du cube. Et montrer que, quand la dimension tend vers l’infini, le volume du l’hypersphère tend vers 0 alors que celui de l’hypercube tend vers l’infini. Les applications sont innombrables. Et pas seulement en astrophysique dans la “théorie des cordes” (qui s’agiteraient, selon Stephen Awking, dans une douzaine de dimensions), mais dans la vie de tous les jours: Directeur logistique dans une société qui fabrique des boîtes métalliques (pour la conserve, par exemple), je dois transporter quelques 10 milliards de boîtes chaque année. A 100 000 boîtes par camion, cela fait tout de même 100 000 camions sur les routes avec les bouchons, la pollution et les émissions de CO2 qui en découlent. Or, une boîte n’est autre qu’un disque (sphère de dimension 2) élevé dans la troisième dimension pour en faire un cylindre. De même, un camion n’est qu’un “gros cube”. Et bien, si on pouvait fabriquer des hyperboîtes (hypercylindres de base une hypersphère) dans un espace de dimension suffisamment grande, leur volume serait suffisamment petit pour qu’elles tiennent toutes dans un hypercamion dont le volume, lui, devient de plus en plus grand. Je transporterais alors toutes mes boîtes en un coup. Génial non ? Si un hypertransporteur était intéressé, qu’il me contacte rapidement. L’ascenseur spatial Encore un problème dont je ne m’imaginais pas qu’il pût être aussi fécond jusqu’à ce que je découvrisse, dans un récent article du Point, qu’il occupait les ingénieurs de la Nasa depuis 10 ans ! L’idée est d’élever une corde suffisamment haut dans l’espace à partir de la terre pour que la force centrifuge due à la rotation de la terre compense son poids. Il suffirait alors de l’attacher à la base pour y faire grimper un ascenseur et rejoindre l’espace à moindre frais. D’où la problématique: Qu’elle doit être la longueur minimale d’une corde élevée dans l’espace pour qu’elle tienne en équilibre sans qu’elle retombe ? Note: Le Point parle de 100 000 km alors que j’en trouve 144 500. Si un lecteur avisé pouvait me dire qui a raison ... En fait, si les ingénieurs s’intéressent à nouveau à la corde spatiale, c’est parce que les nanotubes de carbone permettraient de tisser une corde suffisamment légère pour être transportée dans l’espace et suffisamment résistante pour supporter la tension à laquelle elle serait soumise. Mais, au fait: Comment faudrait-il s’y prendre pour tisser une telle corde ? Décidément, il faut que je songe à envoyer mon CV à la Nasa ... Le calcul de Pi Un dernier exercice pour montrer, s’il en était besoin, comment les mathématiques sont intimement liées à la vie de tous les jours. Et bien, figurez-vous que nous allons calculer Pi en lançant des allumettes sur un parquet: Calculer la probabilité pour qu’une allumette lancée sur un parquet, chevauche une jointure des lattes dont la largeur est égale à la longueur de l’allumette. Vous l’aurez compris: il suffit alors de lancer en l’air une poignée d’allumette et de compter celles qui empiètent sur une rainure. Et dire qu’on s’enquiquine à calculer Pi à force de super calculateurs !
Les problèmes:
Récréations mathématiques
La clepsydre Le ressort pesant La moyenne d’ordre N Les mouches La bande de magnétophone Détection d’une maladie par mélange d’échantillons Tirages répétitifs La fonction logarithme La vitesse de consommation minimale Deux fractales La somme diabolique Le bâton Les dominos L’hyper-Espace L’ascenseur spatial Calcul de Pi
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